向量的叉积与行列式

参考书籍：

1. 《平面向量和空间向量》-吕学礼-中学生文库-1990

2. 《数理化自学丛书-平面三角函数》，余弦定理和向量点积

3. 《漫画线性代数-欧姆社学习漫画》

坐标系转换，也就是计算不同坐标系下某个点的坐标

假设物体A、B 的世界坐标分别为 (2,3,4)、(2,2,3)

计算以 A 为坐标原点时 B 的坐标，即 AB=B-A=(2,2,3)-(2,3,4)=(0,-1,-1)。

在物体A上挂载脚本并执行：

// 物体 A 的世界坐标为 (2,3,4)
// 物体 B 的世界坐标为 (2,3,3)
Vector B = new Vector3(2,3,3);
// 打印以 A 为坐标原点时的坐标系中 B 点的位置
Debug.Log(transform.InverseTransformPoint(B)); // 打印 [0.00,0.00,-1.00]，也就是坐标 (0,0,-1)

假设物体 A 的世界坐标为 (2,3,4)

若以物体 A 为坐标原点时，有一个坐标为 (2,3,3) 的物体 B，计算物体 B 的世界坐标，即 B+A=(2,2,3)+(2,3,4)=(4,6,7)。

在物体A上挂载脚本并执行：

// 物体 A 的世界坐标为 (2,3,4)
// 当以物体 A 为坐标原点时，物体 B 的坐标为 (2,3,3)
Vector B = new Vector3(2,3,3);

// 打印以物体 B 的世界坐标
Debug.Log(transform.InverseTransformPoint(B)); // 打印 [4.00,6.00,7.00]，也就是坐标 (4,6,7)。

若有两个坐标：A(1,2,3), B(2,3,4)

将 B 放置到 A 物体下使 B 成为 A 的子物体。

那么此时的 B 坐标为向量 AB=B-A=(2-1, 3-2, 4-3)=(1,1,1)

第一个是表达了在平面zuobiaoxi

不错！

    // Stretch a mesh at an arbitrary angle around the X axis.

    // Angle and amount of stretching.

    public float rotAngle;

    public float stretch;

    MeshFilter mf;

    Vector3[] origVerts;

    Vector3[] newVerts;

    void Start()

    {

        // Get the Mesh Filter component, save its original vertices

        // and make a new vertex array for processing.

        mf = GetComponent< MeshFilter > ();

        origVerts = mf.mesh.vertices;

        newVerts = new Vector3[origVerts.Length];

    }

    void Update()

    {

        // Create a rotation matrix from a Quaternion.

        Quaternion rot = Quaternion.Euler(rotAngle, 0, 0);

        Matrix4x4 m = Matrix4x4.TRS(Vector3.zero, rot, Vector3.one);

        // Get the inverse of the matrix (ie, to undo the rotation).

        Matrix4x4 inv = m.inverse;

        // For each vertex...

        for (var i = 0; i < origVerts.Length; i++)

        {

            // Rotate the vertex and scale it along its new Y axis.

            var pt = m.MultiplyPoint3x4(origVerts[i]);

            pt.y *= stretch;

            // Return the vertex to its original rotation (but with the

            // scaling still applied).

            newVerts[i] = inv.MultiplyPoint3x4(pt);

        }

        // Copy the transformed vertices back to the mesh.

        mf.mesh.vertices = newVerts;

    }

沿着x轴反向旋转，然后y方向拉伸，然后再旋转回来

#### 叉积的应用

* 得到一个平面的法向量

* 判断旋转方向：axb旋转方向就是从a到b，顺时针和逆时针取决于观察方向，走到对侧观察，顺逆性就刚好反过来了。

** 用左手定则，假设知道了axb（中指），和a（大拇指），我们大致可以判断b的方向，知道axb（大拇指）和b（食指）也是一样。在该系中，axb，a到b永远是顺时针。 +

就是说，站在大拇指和食指形成的平面，头朝向axb观察，是顺时针，顺时针就是角度变大的旋转方向。

** 0 共线（可能同向，或反向）

### unity中的点和向量

vector2 vector3 分别用来表示二维 或 三维 的点或向量。

* transform.position transform所在对象在世界坐标系中的点的位置

* transform.forwoard 等相关值，是transform所在对象z正向在世界坐标系的单位向量

* 在unity中，用vector3来表示对象的位置

* 在unity中，*用vector3来表示物体移动的长度和方向*。

** update函数相当于差分，每帧移动ds距离

** 设匀速运动s=vt,则ds=v*dt，从t到t+1秒积分得：s=v，也就是说，累积一秒的若干帧更新，刚好走过了速度标定的距离，因此我们也把向量当作速度来用

*** update函数中的移动距离计算为：ds=time.deltatime*移动矢量，其中移动矢量是一秒物体移动的距离，也就是速度

* 在unity中，可以通过两个对象transform.position值相减得到的矢量的模，得到两个对象的距离

[source,csharp]

----

private Vector3 movingvect;

private bool movingSetted=false;

private float movingtime=3;

//set in inspector panel

public  Transform target;

// Update is called once per frame

void Update()

{

    //第一次，求移动矢量，也就是距离

    if (movingSetted==false){

        movingSetted=true;

        movingvect=target.position-transform.position;

    }

    //距离足够小停止运动

    var distanceVector=target.position-transform.position;

    //模平方获得较好运行性能

    if(Vector3.SqrMagnitude(distanceVector)>=0.1f)

    transform.Translate(movingvect/movingtime*Time.deltaTime,Space.World);

}

----

    void Update()

    {

        //每秒移动两秒抵达屏幕边界时停止

        var vpp = Camera.main.WorldToViewportPoint(transform.position);

        if (vpp.x > 0 && vpp.y > 0 && vpp.x < 1 && vpp.y < 1)

            transform.Translate(Time.deltaTime * Vector3.right * 2, Space.World);

    }

### 屏幕坐标与视口坐标转换

#### Camera.ScreenToViewportPoint

public Vector3 ScreenToViewportPoint(Vector3 position);

Transforms position from screen space into viewport space.

Screenspace is defined in pixels. The bottom-left of the screen is (0,0); the right-top is (pixelWidth,pixelHeight). The z position is in world units from the camera.

#### Camera.ViewportToScreenPoint

public Vector3 ViewportToScreenPoint(Vector3 position);

Transforms position from viewport space into screen space.

Viewport space is normalized and relative to the camera. The bottom-left of the camera is (0,0); the top-right is (1,1). The z position is in world units from the camera.

//下列两条语句等价

transform.Translate(Time.deltaTime*transform.up,Space.World);

transform.Translate(Time.deltaTime*Vector3.up);

## 坐标系关联与相互转换

### Transform.Translate

`public void Translate(Vector3 translation, Space relativeTo = Space.Self);`

将transform，相对于space坐标系，移动translation的距离

* 移动谁：移动transform所在对象

* 相对于哪个坐标系移动：相对于space移动

* 移动多少：移动translation

* space枚举取值有哪些：space.world,space.self(默认值)

## Transform.TransformPoint

`public Vector3 TransformPoint(Vector3 position);`

将本transform空间中的点position，转换到世界坐标系。

## Transform.InverseTransformPoint

`public Vector3 InverseTransformPoint(Vector3 position);`

将世界坐标系中的点position，转换到本transform的局部坐标系

* 屏幕坐标系 Screen Space

** 标准定义：Screenspace is defined in pixels. The bottom-left of the screen is (0,0); the right-top is (pixelWidth,pixelHeight). The z position is in world units from the camera.

*** 以像素为单位

*** 原点左下角，右上角宽度screen.width和高度screen.height

** unity实现

*** 原点左下角，右上角宽度screen.width和高度screen.

**** 注意：Event.mousePosition原点在左上角，而不是坐下

height

*** 鼠标位置坐标属于屏幕坐标，input.mouseposition，是一个**三维向量**，z始终为0，可能是为了性能，不处理z。如果要精确，可以理解为z在视锥近平面cam.nearClipPlane。

*** 将世界坐标转换为屏幕坐标时，*Z是以世界单位衡量的到相机的距离*：摄像机对游戏世界的渲染范围是一个平截头体，渲染边界是一个矩形，用与near clippingplane或者far clippingplane平行的平面截取这个平截头体，可以获得无数个平行的矩形面，也就是我们看到的屏幕矩形。离摄像机越远，矩形越大，离摄像机越近，矩形越小。所以，同样大小的物体，随着离摄像机越来越远，相对于对应屏幕矩形就越来越小，所看起来就越来越小。在屏幕上，关键在于这个点在哪个截面上，也就是说，关键在于这个截面离摄像机有多远！*参数中的z坐标的作用就是：用来表示上述平面离摄像机的距离*。

**** Input.mouseposition移动到屏幕之外也会有值

*** 手指触摸屏幕也为屏幕坐标, 单手指input.gettouch(0).position，是一个**二维向量**

* 视口坐标系 ViewPort Space

** 标准定义：Viewport space is normalized and relative to the camera. The bottom-left of the viewport is (0,0); the top-right is (1,1). The z position is in world units from the camera.

*** 将屏幕坐标系单位化

*** 左下角 (0,0)，右上角 (1,1)

** unity实现

*** 无法直接得到

*** 可以将屏幕坐标->视口坐标，或反之

*** 可以将世界坐标->视口坐标，或反之

*** 左下角 (0,0)，右上角 (1,1)

*** 如前所述，当采集鼠标位置时，z不做处理，此时，z始终为0

不是,模为1的任何方向向量为单位向量。 v3.Normalize();

Vector3.Distance(v1,v2);

2*3*cos60；2*3*sin60；

Vector3.Cross(a,b)>0  ， 逆时针

        //Vector3 m_target = m_go2.transform.position;
        //m_go1.transform.Translate((m_go2.transform.position - m_go1.transform.position).normalized * Time.deltaTime, Space.World);
        //m_go1.transform.position = new Vector3(Mathf.Clamp(m_go1.transform.position.x, m_go1.transform.position.x, m_target.x), Mathf.Clamp(m_go1.transform.position.y, m_go1.transform.position.y, m_target.y), Mathf.Clamp(m_go1.transform.position.z, m_go1.transform.position.z, m_target.z));

    private void Update()
    {
        //if (timer <= 1)
        {
            m_go1.transform.Translate(Vector3.right * 2 * Time.deltaTime);
            Vector3 viewPos = Camera.main.WorldToViewportPoint(m_go1.transform.position);
            if (viewPos.x >= 1f || viewPos.x < 0.0 || viewPos.y >= 1f || viewPos.y < 0.0)
            {
                m_go1.transform.position = oldPos;
                return;
            }
            oldPos = m_go1.transform.position;
            timer += Time.deltaTime;
        }
    }

transform.Translate(translation:Vector3,relativeTo:Space=Space.Self);

relativeTo为空，则默认为局部坐标系。

最后加Space.World，则是世界坐标系

一个物体参照  世界坐标 原点  —— 世界坐标

一个物体参照  3d物体   原点 ——  局部坐标

世界坐标  转换  局部坐标  参照 3d物体坐标

局部坐标  转换  世界坐标  参照  世家坐标原点